The Biologist
(Lima)
VOL. 18, Nº 1, JAN-JUN 2020
The Biologist (Lima)
Versión en Linea:
ISSN 1994-9073
Versión Impresa:
ISSN 1816-0719 Versión CD-ROM:
ISSN 1994-9081
PUBLICADO POR:AUSPICIADO POR:
ESCUELA PROFESIONAL DE BIOLOGÍA,
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA,
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
The Biologist
(Lima)
The Biologist (Lima), 2020, 18(1), jan-jun: 83-89.
ORIGINAL ARTICLE / ARTÍCULO ORIGINAL
MATHEMATICAL MODELING OF THE EPIDEMIOLOGICAL BEHAVIOR OF THE COVID-19
PANDEMIC IN CHINA
MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL COMPORTAMIENTO EPIDEMIOLÓGICO DE LA
PANDEMIA COVID-19 EN CHINA
1Departamento Académico de Ciencias Alimentarias, Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y
Acuicultura, Universidad Nacional Federico Villarreal. Lima, Perú. Calle Roma 340, Miraores, Lima, Perú.
2Departamento Académico de Acuicultura, Facultad de Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias y Acuicultura,
Universidad Nacional Federico Villarreal. Calle Roma 340, Miraores, Lima, Perú.
3Departamento Académico de Ingeniería Pesquera, Facultad de Ingeniería Pesquera y de los Alimentos, Universidad
Nacional del Callao. Av. Juan Pablo II 306, 07011, Bellavista, Callao, Lima, Perú.
4Departamento Académico de Ciencias Básicas, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional José María Arguedas, Jr. Juan
Francisco Ramos N° 380, Andahuaylas, Perú.
5Laboratorio de Biología Molecular, Facultad de Ciencias Biológicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Av.
Venezuela Cdra. 34 S/N, Ciudad Universitaria, Lima, Perú.
6Vicepresidencia de Investigación, Universidad Nacional Tecnológica de Lima Sur. Sector 3 Grupo 1A 03, Cercado (Av.
Central y Av. Bolívar). Villa El Salvador. Lima, Perú.
* Corresponding autor: omarin@unfv.edu.pe
1,* 2 3
Olegario Marín-Machuca ; Abel Walter Zambrano-Cabanillas ; Enrique Gustavo García-Talledo ;
4 5 6
Julia Iraida Ortiz-Guizado ; Dan Erick Vivas-Ruiz & Obert Marín-Sánchez
ABSTRACT
Keywords: behavior – COVID-19 – modeling – pandemic
The objective of the aim was to develop a mathematical model that would predict epidemiological
behavior caused by SARS-CoV2 (COVID-19) in the Popular Republic of China. The model relied on
determining the relationship between the variation in the number of reported cases (dN) and the variation
in elapsed time (dt), called the rate with which the phenomenon of cases reported in China. The speed of
the phenomenon was determined by graphical differentiation, with the purpose of finding an Ordinary
Differential Equation of First Order (EDOPO), linear type. This equation was resolved between the initial
conditions of the reported data (t=1 day, N=278 reported cases), getting the corresponding predictive
model. The predictive model (Equation 15) was statistically validated, evaluating its Pearson r correlation
coefficient, whose value is 0.97, indicating a good estimate of the model in relation to the epidemiological
phenomenon of COVID-19.
The Biologist (Lima)
ISSN Versión Impresa 1816-0719
ISSN Versión en linea 1994-9073 ISSN Versión CD ROM 1994-9081
83
doi: 10.24039/rtb2020181473
El nuevo coronavirus (2019-nCoV) identificado el
31 de diciembre de 2019 en Wuhan, China,
actualmente oficializado como SARS-CoV2,
produce la COVID-19. Además, este virus es el
primero de su familia que ha sido declarado
pandemia por la Organización Mundial de la Salud
(OMS) el 11 de marzo de 2020 (WHO, 2020ab).
Los estudios epidemiológicos mundiales del
coronavirus (CoV) durante 15 años han
demostrado que los murciélagos de Asia, Europa,
África, América y Australasia albergan una amplia
variedad de virus, y diseminan estos agentes
infecciosos con bastante facilidad, aumentando su
capacidad de transmisión (Fang et al., 2019; Wang
& Fish, 2019; Woo & Lau, 2019). Según el Grupo
de Investigación Modelos Matemáticos en Ciencia
y Tecnología: Desarrollo, Análisis, Simulación
Numérica y Control (MOMAT) del Instituto de
Matemáticas Interdisciplinarias de la Universidad
Complutense de Madrid, España, la aplicación del
modelo Be-CoDiS (Between-Countries Disease
The Biologist (Lima). Vol. 18, Nº1, jan - jun 2020
RESUMEN
Palabras clave: comportamiento - COVID-19 – epidemia- modelado
El objetivo del trabajo fue desarrollar un modelo matemático que haga la predicción del comportamiento
epidemiológico causado por SARS-CoV2 (COVID-19) en la República Popular de China. El modelo de
basó en determinar la relación entre la variación del número de casos reportados (dN) y la variación del
tiempo transcurrido (dt), denominado velocidad con que el fenómeno de casos reportados en China. La
velocidad del fenómeno se determinó por diferenciación gráfica, con el propósito de encontrar una
Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden (EDOPO), tipo lineal. Esta ecuación fue resuelta entre
las condiciones iniciales de los datos reportados (t=1 día, N=278 casos reportados), llegando a obtener el
modelo predictivo correspondiente. El modelo predictivo (Ecuación 15) fue validado estadísticamente,
evaluando su coeficiente de correlación r de Pearson, cuyo valor es de 0,97, indicando una buena
estimación del modelo en relación con el comportamiento epidemiológico de COVID-19.
INTRODUCCIÓN
84
Spread) en el análisis de la pandemia COVID-19
proyecta numéricamente que este fenómeno viral
estará presente hasta Julio de 2020 en el mundo
(Ivorra & Ramos, 2020). En virtud de ello es
importante estimar la tendencia en el
comportamiento de la curva epidemiológica de la
pandemia COVID-19 en la República Popular de
China.
Los datos empleados para el estudio se obtuvieron
de la plataforma interactiva del CSSE (Center for
Systems Science and Engineering) (Dong et al.,
2020) de la Universidad John Hopkins, USA, entre
el 20 de enero y el 16 de marzo del 2020. Según esta
plataforma, la representación gráfica del
comportamiento epidemiológico muestra dos fases
(una por diagnóstico molecular y la segunda por
diagnóstico molecular más sintomatología), pero
para el presente modelado matemático, se ha
MATERIALES Y MÉTODOS
Marín-Machuca et al.
t
(días) Fecha
Casos
Reportados
(N)
t
(días)
Fecha
Casos
Reportados
(N)
t
(días)
Fecha
Casos
Reportados
(N)
1 20/01/2020 278 20
08/02/2020
36800
39
27/02/2020 78500
2 21/01/2020 326 21
09/02/2020
39800
40
28/02/2020 78800
3
22/01/2020
547 22
10/02/2020
42300
41
29/02/2020 79300
4
23/01/2020
639 23
11/02/2020
44300
42
01/03/2020 79800
5
24/01/2020
916 24
12/02/2020
44700
43
02/03/2020 80000
6
25/01/2020
2000
25
13/02/2020
59800
44
03/03/2020 80200
7
26/01/2020
2700
26
14/02/2020
66300
45
04/03/2020 80300
8
27/01/2020
4400
27
15/02/2020
68300
46
05/03/2020 80400
9
28/01/2020
6000
28
16/02/2020
70400
47
06/03/2020 80600
10
29/01/2020
7700
29
17/02/2020
72400
48
07/03/2020 80700
11
30/01/2020
9700
30
18/02/2020
74100
49
08/03/2020 80700
12
31/01/2020
11200
31
19/02/2020
74500
50
09/03/2020 80700
13
01/02/2020
14300
32
20/02/2020
75000
51
10/03/2020 80800
14
02/02/2020
17200
33
21/02/2020
75500
52
11/03/2020 80900
15
03/02/2020
19700
34
22/02/2020
76900
53
12/03/2020 81000
16
04/02/2020
23700
35
23/02/2020
76900
54
13/03/2020 81070
17 05/02/2020 27400 36 24/02/2020 77200 55 14/03/2020 81120
18 06/02/2020 30600 37 25/02/2020 77700 56 15/03/2020 81170
19 07/02/2020 34100 38 26/02/2020 78100 57 16/03/2020 81200
Tabla 1. Datos tomados de la plataforma interactiva del CSSE (Center for Systems Science and Engineering) de la
Universidad John Hopkins, USA.
Los datos reportados (número de casos reportados,
N, frente al tiempo transcurrido, t, en días) por
CSSE se presentan en la Tabla 1. Estos datos fueron
representados gráficamente (N vs t), en la Figura 1
(Roosa et al., 2020). Como se puede observar, el
modelamiento de los datos de la Tabla 1, en base a
la experiencia profesional nos planteamos varios
modelos, entre los cuales podemos citar: 1) el de
producto de dos funciones, una potencial y una
exponencial; 2) el logístico; 3) el de interpolación
de Lagrange; 4) el de diferenciación gráfica con
1
N= = f (N,t)... (Ecuación 1)
dN
dt
una potencial y una exponencial; y, 5) el de una
Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden
(EDOPO), tipo lineal (Marín-Machuca, 1996).
En cuanto a estos modelos descritos, los autores
optamos por el modelo 5, el cual resulta ser el más
apropiado, dado que dicho modelo recurre a la
técnica de diferenciación gráfica para obtener la
relación entre la variación del número de casos
reportados y la variación del tiempo. Es decir,
obtenemos:
2
f (N,t) = A + B x N + C x t + D x t... (Ecuación 2)
Donde N es el número de casos reportados y t el
tiempo transcurrido (días). Luego, f(N,t) adoptó la expresión característica complementaria de una
(EDOPO), tipo lineal, cuya forma es:
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Mathematical modeling of COVID-19
85
Para evaluar los parámetros A, B, C y D; se
formuló un sistema de ecuaciones lineales, de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas (4×4), la
misma que se muestra a continuación:
2 1
n × A + B × N + C × t + D × t = N ... (Ecuación 3)
Σ Σ Σ Σ
22 1
A × N + B × N + C × N × t + D × N × t = N × N ... (Ecuación 4)
Σ ΣΣ Σ Σ
2 3 1
A × t + B × N × t + C × t + D × t = t × N ... (Ecuación 5)
Σ ΣΣ
Σ
Σ
2 2 3 4 2 1
A × t + B × N × t + C × t + D × t = t × N ... (Ecuación 6)
Σ ΣΣ Σ Σ
En seguida, se formuló la EDOPO, tipo lineal, cuya expresión final se muestra:
dN
dt 2
=A + B × N + C × t + D × t … (Ecuación 7)
Finalmente, el modelo resultante, de la solución de
la Ecuación (8), se validó estadísticamente por el coeficiente de correlación r de Person, empleando
la expresión:
dN
dt 2
– B × N = A + C × t + D × t … (Ecuación 8)
r = 2
(N–N)
2
(N–N)… (Ecuación 9)
Para el modelamiento del comportamiento
epidemiológico de COVID-19 reportado en la
República Popular de China, nos hemos basado en
la teoría de Modelamiento Empírico (Bronshtein &
Semendiaev, 2018) sobre el número de casos
reportados (N), en función del tiempo transcurrido,
t, (días), para la cual se formuló y resolvió el
siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Donde N es la estimación de los casos reportados,
N es la media de los casos reportados y N es el
número de los casos reportados.
Aspectos Éticos
El presente estudio ha cumplido con toda la
normatividad nacional e internacional en el ámbito
ético tomando los datos de la plataforma
interactiva CSSE de la Universidad John Hopkins
que es de acceso público y abierto.
RESULTADOS
29A + 1508681B + 841C + 32509D = 39460 ... (Ecuación 10)
1508681A + 10749760030B + 58069759C + 2455001201D = 1610479060 ... (Ecuación 11)
841A + 58069759B + 32509C + 1413721D = 825980 ... (Ecuación 12)
32509A + 2455001201B + 1413721C + 65570653D = 19958860 ... (Ecuación 13)
mismos que se muestran a continuación:Dando, de esta manera, el valor de los parámetros
correspondientes de la (EDOPO), tipo lineal, los
A = –728,934; B = –0,0722981; C = 428,502; D = –5,86596
reportados); que son las condiciones iniciales del
proceso pandémico.
Con estos valores se planteó la EDOPO, lineal; la
misma que fue resuelta entre los límites
correspondientes (para t=1 día y N=278 casos
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dN
dt 2
+ 0,0722981N = –728,934 + 428,502t – 5,86596t ... (Ecuación 14)
Resolviendo la EDOPO, tipo lineal (Ecuación 14)
por integración indefinida, por partes, resulta el
modelo correspondiente (Ecuación 15), que hace
la predicción respectiva (número de casos
reportados en China), que se puede observar en la
Figura 1.
2 0,0723t
N = –123105,4426 + 8171,3556t + 81,1357t + 123937,4182e–... (Ecuación 15)
El modelo representado por la Ecuación 15 se
muestra en la Figura 2. La validación estadística de
dicho modelo se realizó por medio del valor del
coeficiente de correlación r de Pearson,
determinado por la Ecuación 8:
r = 27484408470
29002955520 = 0,97
Determinando de esta manera que el coeficiente de
correlación r de Pearson fue de 0,97, con un coeficiente de determinación del 94,76%.
Figura 1. Comportamiento del número de casos reportados en la República Popular de China. La imagen muestra la dispersión
del número de casos reportados de COVID-19, en relación entre la variación del número de casos reportados (dN) y la variación
del tiempo transcurrido (dt).
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Figura 2. Comportamiento del número de casos estimados (según nuestro modelo) en la República Popular de China. La imagen
muestra la comparación entre la dispersión de los casos reportados (en azul) y los casos estimados (en rojo) de COVID-19, en
relación entre la variación del número de casos reportados (dN) y la variación del tiempo transcurrido (dt).
El fenómeno epidemiológico de la dispersión de
SARS-CoV2 (COVID-19) en la República Popular
de China presenta aparentemente dos fases. La
primera fase desde el inicio hasta el 12 de febrero, y
la segunda a partir del 13 de febrero hasta la fecha
actual. Esto fenómeno se debe a un aumento de
15.152 casos entre estos dos días, el cual se debe a
la forma de diagnóstico hecha un profesional
médico capacitado en base a imágenes torácicas, en
lugar de una prueba de laboratorio. El modelo
desarrollado describe y estima el número de casos
reportados, infectados por el COVID-19, en la
República Popular de China coincidiendo con lo
mencionado por otros estudios (Ivorra & Ramos,
2020). Himmelblau & Bischoff (1992) describen
DISCUSIÓN un modelo matemático similar al utilizado en el
presente estudio, esto es, la EDOPO lineal, que es
una expresión matemática de gran valía para
simular matemáticamente, fenómenos logísticos,
empíricos y de balance de población. El modelo
determinado (Ecuación 15) es graficado (puntos de
color rojo), a la misma escala, juntamente con los
datos reportados en China (puntos de color azul),
comparación cercana que se observa en la figura 2.
La representación de los datos reportados en China
(Figura 1) muestra dos tramos bien definidos,
explicados biológicamente, por tipo de pruebas
clínicas; la primera fase de diagnóstico molecular y
la segunda de diagnóstico molecular y
sintomatológico. La Ecuación 14, representa la
relación entre la variación del número de casos
reportados (dN) y la variación del tiempo
transcurrido (dt), que está dependiendo del número
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Marín-Machuca et al.
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de casos reportados en china (N), del tiempo
2
transcurrido al cuadrado (t) y de una constante (A);
resultando una técnica matemática de gran utilidad
para realizar el modelamiento matemático de
fenómenos epidemiológicos, estando de acuerdo
con lo reportado por otro estudio (Roosa et al.,
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Woo, P. C. Y. & Lau, S. K. P. 2019. Viruses and
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Received April 16, 2020.
Accepted April 21, 2020.
The Biologist (Lima). Vol. 18, Nº1, jan - jun 2020
Mathematical modeling of COVID-19
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