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Modelamiento matemático de la mortalidad por
COVID-19 en China
Mathematical modelling of COVID-19 mortality in China
ABSTRACT
Keywords:
RESUMEN
Palabras clave: comportamiento, coronavirus, modelo logístico,
mortalidad.
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Introducción
El comportamiento epidemiológico de los virus de
importancia en salud pública responde a factores
ambientales, sociales, económicos y biológicos; además
de modelar y analizar matemática y estadísticamente,
los fenómenos de epidemiológicos; entre otros
(Bowman & Russell, 2009). La evolución de esta
pandemia requiere comprender los mecanismos que
fomentan su comportamiento esencialmente para este
estudio en términos de mortalidad ya que es diferente y
heterogenia incluso ente países (Medeiros de Figueiredo
et al., 2020).
Existen diferentes modelos donde los escenarios
son limitados, caracterizándolos por el tipo de
control de las variables a analizar dentro del modelo,
estos a su vez lo podemos establecer en dos grandes
grupos, los determinísticos donde se controlan los
factores que intervienen en el estudio, y los modelos
estocásticos donde no es posible controlar los factores
que intervienen y los resultados no son únicos. Por
lo tanto, un modelo matemático, del tipo logístico,
es una herramienta que nos ayuda a estudiar los
problemas derivados de las enfermedades y cuyo
objetivo es describir, explicar y predecir fenómenos,
como las epidemias en áreas geográcas denidas,
para entender, a su vez, la dinámica de la dispersión y
en este caso de mortandad, de la enfermedad entre la
población en varios escenarios, que requieren modelar,
y para profundizar utilizar las herramientas del análisis
innitesimal (Florencio, 2020).
Los modelos matemáticos logísticos se pueden
establecer con indicadores previamente elaborados, por
ejemplo, el número de casos fallecidos por COVID-19
causada por SARS-CoV2; y de sucesos previamente
establecidos (brotes anteriores) en los cuales es clave
precisar la tasa de reproducción básica o constante
de proporcionalidad de los modelos logísticos (k), la
patogenicidad, la duración, la letalidad y la mortalidad
en poblaciones denidas (Manrique, et. al, 2020).
El estudio tiene por objetivo analizar el
comportamiento de la mortalidad asociada a COVID-19
y desarrollar un modelo matemático que permita
analizar y explicar este fenómeno en República Popular
de China durante la pandemia.
Materiales y Métodos
Los datos de fallecidos por COVID-19 en la República
Popular de China fueron obtenidos en el sitio Data on
COVID-19 (Beltekian D. et. al, 2020), considerando
los fallecidos entre el 11 de enero y 12 de abril del 2020
mostrados en la Tabla 1 y Figura 1. Cabe indicar que se
consideraron como fechas de inicio (11/01/2020) debido
a que el fenómeno de mortandad dejó de ser un periodo
de latencia y era notorio el crecimiento exponencial de la
mortandad; mientras que la fecha nal (12/04/2020) fue
considerada por razones logísticas (la mortandad resultó
ser de tendencia muy baja). Representando la Figura
1 (número de fallecidos, N vs el tiempo transcurrido, t
(días)), se deduce que, dicha representación sigue una
tendencia logística (Bronshtein & Semendiaev, 2018;
Marín-Machuca et al., 2020), y un modelo matemático
que adopta la forma:
Para determinar el modelo matemático (ecuación
1) se determinará el valor de B, que se dene como un
factor de corrección del fenómeno, presentando un gran
aporte al modelamiento matemático (Bronshtein &
Semendiaev, 2018), denido por la expresión:
El valor de B es un parámetro de suma importancia
en los modelos logísticos, de tal manera que en esta
oportunidad estima el valor máximo de personas que
podrían llegar a morir en la República Popular de China,
razón por la cual será mayor que el último valor de tabla
1 (3345 personas fallecidas). El valor de B se obtendrá
con los valores del número de fallecidos el 10 de febrero
de 2020 (debido a que en esta fecha el proceso deja de
ser latente y pasa hacer exponencial) (909 fallecidos,
N1), el 12 de abril de 2020 (3345 fallecidos, N2 ) y el 12
de marzo (3172 fallecidos, N3;respectivamente. Según
Bronshtein & Semendiaev (2018) el valor de N3 será
calculado para el correspondiente valor medio entre el
día 31(10/02/2020) y el día 93(12/04/2020), es decir para
el día 62 (12/03/2020).
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Tabla 1
Datos de fallecidos por COVID-19 en la República Popular de China. Fuente: Sitio web Data on COVID-19
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Figura 1. Comportamiento del número de fallecidos en China, N; en función del tiempo transcurrido t, (días). La imagen muestra la
dispersión de casos (N), de fallecidos en la República Popular de China, frente al tiempo transcurrido (t), días. La Figura 1 proviene de
la representación de los datos de la Tabla 1.
Fuente: Sitio web Data on COVID-19.
Esta expresión (ecuación 3) es de forma lineal,
la misma que será aplicada a los datos de la Tabla 1,
realizando su análisis de regresión lineal (Gujarati
& Porter, 2018), obteniendo los parámetros A, k y su
coeciente de correlación r de Pearson. El modelo
(ecuación 1), será derivado ordinariamente, llegando
Cabe mencionar que en este trabajo el dato se
encuentra en la Tabla 1(si el dato correspondiente
no estuviera en tabla, se tienen que usar el método
numérico de interpolación de Lagrange). Luego que
se obtenga el valor deB y realizando una herramienta
matemática elemental, como es la linealización de
expresiones matemáticas (Marín, 1996); la ecuación (1)
queda expresada de la siguiente forma:
a determinar un modelo de velocidad de mortandad
de las personas en la República Popular de China por
COVID-19 vs el tiempo transcurrido t, (días), expresado
por:
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La ecuación (4), que representará la velocidad de
fallecidos en función del tiempo transcurrido, tendrá
un comportamiento parabólico. Igualando a cero, la
derivada de la ecuación (2), se podrá evaluar el tiempo
crítico t
C
(días), necesario para estimar la mortandad
máxima de personas; es decir:
El presente estudio ha cumplido con toda la normatividad
nacional e internacional en el ámbito ético, tomando los
datos del sitio Data on COVID-19 (Beltekian et al., 2020),
de acceso público y abierto.
Para de determinar el modelo matemático (ecuación 1),
se determinó el valor de B, que se dene como un factor
de corrección del fenómeno. Dicho valor fue:
Obtenido el valor de B=3359,32 y linealizando la
Ecuación (1), después de realizar operaciones simples,
queda la expresión:
Esta expresión (ecuación 6) es de forma lineal. La
Ecuación 6 se aplicó a los datos de la Tabla 1, sometiendo
dichos datos a un análisis de regresión lineal simple,
obteniendo los parámetros A y k; además de su
coeciente de correlación r de Pearson, resultando la
expresión:
Con un coeciente de correlación de Pearson de
r=-0,9660 y coeciente de determinación de r
2
=0,9331.
Los datos de mortalidad y el modelo predictivo
(Ecuación 7), son representados en la Figura 2.
Este modelo se derivó ordinariamente,
llegando a determinar un modelo de velocidad
de mortalidad de las personas (dN/dt) en la
República Popular de China por del COVID-19 vs
el tiempo transcurrido t, (días), expresado por:
La ecuación 8, que representa la velocidad de
fallecidos en función del tiempo transcurrido, tendrá
un comportamiento parabólico, mostrado en la Figura
3. Igualando a cero, la derivada de la ecuación 8, se
ha evaluado el tiempo crítico t
C
(días) necesario para
estimar la mortalidad máxima de personas; es decir:
Figura 2. Representación del número de fallecidos en función del
tiempo transcurrido (data color azul; modelo color rojo), mostrando
la comparación entre los casos reportados en la República Popular de
China y el modelo (ecuación 7), N, ambos frente al tiempo transcurrido
(t), días.
Los grácos fueron realizados usando el programa GraphPad
Prism 6.
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Como se puede apreciar, la Figura 2 muestra un
efecto denominado “bucle”, similar a un fenómeno de
histéresis. Referente a este efecto se optó por realizar
un factor de corrección (“periodo”) para la variable
independiente t. Para dicho propósito se evaluó un
parámetro T, que hace las veces de periodo, dado por la
expresión:
Con este valor de T=6,8743, la Ecuación (6) queda
expresada, como:
Deducida y analizada la ecuación 9 por análisis de
regresión lineal simple, se tiene el modelo predictivo,
que describe el número de fallecidos en la República de
China, N, en función del tiempo transcurrido, t (días),
es decir:
Con un coeciente de correlación de Pearson de
r=-0,9668 y coeciente de determinación de r
2
=0,9347.
Los datos de mortalidad y el modelo estimado
(Ecuación 10), son representados en la Figura 3.
Figura 3. Representación del número de fallecidos en función del tiempo transcurrido (data color negro y modelo 10 color azul),
mostrando la comparación entre los casos reportados en la República Popular de China y el modelo corregido (ecuación 10), N, ambos
frente al tiempo transcurrido (t), días.
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Derivando la ecuación (10); resulta una segunda
ecuación de velocidad de mortandad de las personas
(dN/dt) en la República Popular de China por COVID-19
vs el tiempo transcurrido t, (días), expresado por:
Las grácas de velocidad de la ecuación (8) y ecuación
(11) (Figura 4) dan como resultado comportamientos
idénticos, en cuanto a valores de velocidad para
cualquier tiempo transcurrido.
Figura 4. Comportamiento de la razón (velocidad) del número de personas fallecidas en función del tiempo transcurrido, mostrando
el comportamiento del número de fallecidos/día y el tiempo transcurrido (t), días.
Igualando a cero, la derivada de la ecuación 11, se
ha evaluado el tiempo crítico t_c (días) necesario para
estimar la mortandad máxima de personas, resultando
dicho valor igual l valor de la ecuación 8; es decir:
El tiempo crítico t
C
, fue evaluado según la ecuación
(5), para la ecuación 8 y ecuación 11, siendo 45,3325 días,
obteniendo una velocidad máxima de 118 de fallecidos/
día, ocurrido el día 24 de febrero del presente año
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Discusión
El valor de B=3359,32 es un parámetro importante que
predice el posible número máximo de infectados que
podría ocurrir, analizando e interpretando al fenómeno
que tiene un carácter asintótico superior, coincidiendo
con lo reportado por Bronshtein & Semendiaev (2018).
Este valor de B=3359,32 resultó ser mayor que el último
valor de los datos registrado en la Tabla 1, valor esperado
por el carácter asintótico del modelo. Para modelos
logísticos, la linealización matemática resulta ser de
gran aplicabilidad y de reducción de la dicultad para
modelos no lineales.
Al modelar matemáticamente casos y fenómenos
que contengan la función exponencial y=A×e
;
se induce a evaluar los valores de la constante de
proporcionalidad de los modelos logísticos (k) o razón
de cambio, coincidiendo con lo reportado por Manrique,
et. al, (2020).
Los modelos de estimación (Ecuación 7 y Ecuación
10); ilustrados en las Figuras 2 y 3, tienen coecientes
de correlación r bastantes próximos y aceptables a su
vez. Los modelos de velocidad (número de fallecidos por
día), (Ecuación 8 y Ecuación 11), ilustrados en la Figura 4,
tienen una muy buena, por no decir perfecta, similitud
en sus comportamientos. El tiempo crítico, t
c
, para
ambos modelos (Ecuación 8 y Ecuación 11), resultó ser el
mismo valor, es decir 45,3 días.
Los modelos estimados (ecuación 7 y ecuación 10)
son logísticos y describen bastante bien el fenómeno
de mortandad en la República Popular de China,
encontrando muy buena concordancia modelística
con lo mencionado por Florencio (2020). Los modelos
matemáticos logísticos, una vez obtenidos, pueden
seguir procesos de análisis e interpretación, como es
la derivada de modelos (ecuación 8 y ecuación 11), para
analizar la velocidad del número de fallecidos/día, y la
segunda derivada de los modelos (ecuación 8 y ecuación
11), se igualan a cero, para poder precisar el valor del
tiempo crítico, y predecir la fecha que se produjo la
máxima velocidad de mortandad y la cantidad de esta,
corroborando con lo mencionado por Bowman & Russell
(2009).
Finalmente, la Figura 2 ilustra la representación
de los datos reportados en el primer modelo (ecuación
7); mientras que en la Figura 3 se observa los datos
reportados y el segundo modelo con el valor corregido
(T=7,1216) (ecuación 10); mostrando que este modelo
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